Наши бытовые и профессиональные разговоры, речи, споры состоят из слов и предложений. Будем считать, что вы умеете отличать слово или словосочетание от предложения, и займемся сначала анализом слов – именно из них, как из кирпичей, строятся «здания» наших рассуждений.

Среди употребляемых нами слов наиболее важными являются имена, причем именно они и составляют большую часть слов. Ну, конечно! Слова и нужны в первую очередь для того, чтобы как-то обозначать, именовать окружающие нас предметы, явления, события. Нам хорошо знаком класс собственных имен, скажем, «Петя», «Иван Кузьмич», «Аделаида Митрофановна», «Александр Пушкин», «Москва» и т.п. Но ведь слова «дом», «береза», «красный» – это тоже обозначения, т.е. имена тех или иных объектов или свойств! Даже встречая незнакомый предмет, мы сразу даем ему имя – «незнакомый предмет»; а уж если нам встретилась вещь, которую мы не знаем, как назвать, мы все равно называем ее – «вещь без имени». Короче говоря, все предметы, свойства, отношения окружающего нас мира, любой объект нашего внимания может быть назван некоторым именем.

Имя – это выражение языка, обозначающее отдельный предмет, совокупность предметов, свойство или отношение.

Мы видим, что логика значительно расширяет наше обыденное понимание того, что такое имя. В повседневной жизни мы считаем именами лишь собственные имена, обозначающие индивидуальные, единственные в своем роде объекты. Но обозначения групп предметов, отношений, свойств тоже естественно рассматривать как их имена! Конечно, это может показаться несколько необычным, и если на вопрос «Как вас зовут?», вы ответите:

«Меня зовут человек», спросивший может слегка удивиться. Однако наука часто отходит от обыденного здравого смысла, проникая в суть вещей. Так и здесь: логика выделяет важнейшую функцию наших слов – что-то обозначать, и с этой точки зрения почти все они оказываются именами.

Язык служит для выражения мыслей. Имена не только обозначают те или иные объекты, но выражают также ту или иную мысль. Эта мысль (точнее, форма мысли) называется понятием.

Понятие есть форма мысли, выражаемая именем.

Когда мы называем отдельный предмет или группу предметов, например, «нынешний президент России» или «курица», мы одновременно думаем о каких-то чертах, свойствах этих объектов, об их облике, происхождении, отношении к другим объектам и т.п. Первое из приведенных имен обозначает конкретного человека, но одновременно выражает мысль о государственном устройстве современной России и главе российского государства. Второе имя обозначает обширный класс объектов и одновременно выражает мысль о том, что это – птицы, причем домашние, что они несут яйца, не умеют летать и т.д. Вот эти мысли, выражаемые именами, и являются понятиями.

Всякое понятие выражается в имени и всякое имя выражает понятие. Поэтому в дальнейшем мы часто не будем проводить между ними различия. Однако следует помнить о том, что имя – это выражение языка, а понятие – это мысль.

Между именами и понятиями нет жесткой связи: одно и то же понятие может выражаться разными именами и одно и то же имя может выражать разные понятия. Это проявляется в синонимии, когда два слова выражают одно и то же понятие – например, «смелый» и «храбрый», и в омонимии, когда одно слово используется для выражения двух разных понятий – например, «лук», из которого стреляют, и «лук», который едят. Именно в отсутствии жесткой связи между именами и понятиями лежит источник непонимания между людьми, ошибок в рассуждениях, демагогии и софистики. Писатель В. Набоков рассказывал, что один немецкий лингвист перевел пушкинское «У Лукоморья…» оборотом «На берегу лукового моря…» Он спутал оружие с растением!

1) Вы – пилот самолета, совершающего рейс из Нью-Йорка в Москву. Во время рейса на борту объявляется террорист, требующий посадить самолет в Лиссабоне. Экипаж не знает, что делать. Пассажиры в панике. Сколько лет пилоту самолета?

2) Идет по дороге маленький ребенок и причитает: «И мать у меня есть, и отец, да жаль, я им не сын!» Кем является ребенок?

Каждое понятие или связанное с ним имя имеют объем и содержание.

Содержание понятия – это совокупность тех свойств, которые мыслятся в данном понятии.

Например, в понятии «дерево» мыслятся такие свойства: быть растением, иметь корни, ствол, крону. Вот эти свойства и образуют содержание понятия «дерево».

Объем понятия есть множество тех предметов, каждому из которых принадлежат свойства, входящие в содержание понятия.

Например, объем понятия «дерево» образуют все те предметы, которые обладают перечисленными выше свойствами, т.е. все деревья, растущие на Земле. В объем понятия «стол» войдут все существующие столы, в объем понятия «учащиеся» – все люди, которые где-то учатся, и т.д. Следует иметь в виду, что содержание понятия – это совокупность свойств, а объем понятия – это множество предметов, обладающих этими свойствами.

Анаграммы – это слова, в которых переставлены буквы, например, «стол» – «пост». Если перестановка букв производится по какой-то системе, то получается шифр. Не всегда легко догадаться, какое слово было первоначально. Попробуйте!

3) Шиамна, теевр, фекри, езежол, лабосак, диропом, соратак, двум, рмео, налеп, докилорк, втекоц, сюртал, кораеж, касим, лукаб, трикса.

По величине объема понятия разделяются на три группы.

Понятия, в объем которых входит только один предмет, называются единичными.

Они выражаются, как правило, именами собственными или эквивалентными им выражениями, например: «Луна», «Париж», «Наполеон», «автор Илиады», «первый космонавт» и т.п.

Общими называются понятия, в объем которых входит более одного предмета, т.е. два и более. Например, «река», «гора», «планета», «дом», «собака» и т.п.

И наконец, пустыми будут понятия, в объем которых не входит ни одного реального предмета.

У таких понятий есть содержание, т.е. в них мыслится совокупность каких-то свойств, но в окружающем мире нет предметов, которые обладали бы этими свойствами, например: «русалка», «кентавр», «баба Яга», «человек, проживший 1000 лет» и т.п. В понятии «русалка» мыслятся такие свойства: до пояса женщина, ниже пояса – рыба, живет в воде, по ночам выходит на берег. Но нет существ, обладающих перечисленными свойствами. Поэтому понятие «русалка» пусто по объему. Использование пустых понятий требует особой осторожности. Если, скажем, понятие «банковский счет г-на Д.» пусто по объему, а вы рассуждаете так, как если бы оно имело объем, вы можете совершить ошибку.

Рассказывают, что некий врач из Тулузы, желая позабавиться, поместил в местной газете такое объявление: «В связи с отъездом за границу продаю дом и все имущество, в том числе редчайшую историческую реликвию, а именно череп Вольтера-ребенка». И что же вы думаете? В течение одной недели редакция газеты получила от граждан более 100 запросов о цене этой драгоценной реликвии!

Говорят, что лет 30 назад молодые экскурсоводы санкт-петербургского «Эрмитажа» развлекались аналогичным образом. Они заводили группу простодушных посетителей в зал, где были выставлены черепа предков человека, и с серьезным видом начинали рассказывать: «Вы видите череп Петра I в 5-летнем возрасте, а вот его череп в 20-летнем возрасте, а вот таким он стал в 50-летнем возрасте!» Некоторые посетители с интересом отмечали изменения, которые претерпевал череп императора стечением времени.

По содержанию понятия разделяются на две группы.

Конкретные понятия относятся к предметам, вещам, лицам, обладающим самостоятельным существованием

Абстрактные понятия относятся к свойствам или отношения i предметов.

Различие между конкретными и абстрактными понятиями заключается в следующем. Например, дом, белый дом, лошадь – это самостоятельно существующие предметы и понятия о них – конкретные. А вот «белизна» или «лошадность» – это свойства предметов, существующие только в связи с предметами, поэтому соответствующие понятия являются абстрактными. Абстрактными будут и понятия «выше», «большой», «краснота», «доброжелательность» и т.п.

4) А теперь еще одна задача. У нас есть 9 монет одинакового достоинства, но одна из этих монет фальшивая: она легче, чем настоящие. В нашем распоряжении имеются простые весы с чашками, но без шкалы, которые лишь показывают отношение тяжелее-легче. Каким образом с помощью всего лишь двух взвешиваний выделить фальшивую монету?

Если мы попытаемся сравнить между собой объемы различных понятий, то сразу же заметим, что у од них понятий объемы большие, у других – поменьше, что объем одного понятия может включаться в объем другого понятия и т.п. Однако сначала мы обнаружим, что некоторые понятия вообще невозможно сравнивать с этой точки зрения – настолько далеки они друг от друга по своему содержанию Ну как, в самом деле, сравнивать г снятия «оперная ария» и «дерево», «время года» и «бифштекс»?! Такие понятия, в содержаниях которых нет ничего общего, называются несравнимыми.

Сравнимыми называют понятия, содержания которых имеют общие элементы, т.е. имеются какие-то свойства, черты, признаки, которые входят в содержание как одного, так и другого понятия. В дальнейшем мы будем говорить только о сравнимых понятиях.

Совместимыми называются понятия, объемы которых имеют общие элементы, т.е. существуют предметы, которые включаются в объем как одного, так и другого понятия. Будем изображать объемы понятий в виде кругов, в центре которых стоит буква, представляющая некоторое понятие, например, объем понятия A (скажем, «слон») будет выглядеть так:

Этот кружок включает в себя всех слонов, живущих на Земле. Тогда с помощью этих кругов мы можем представить следующие отношения между совместимыми понятиями:

Пересечение

Объемы двух понятий A и B имеют общую часть – это те студенты, которые одновременно занимаются спортом, и те спортсмены, которые учатся в вузе. В то же время есть студенты, не занимающиеся спортом, и спортсмены, которые не являются студентами.

Подчинение

Объем понятия B полностью включается в объем понятия A, например, объем понятия «дуб» полностью включается в объем понятия «дерево». Иногда отношение подчинения называют «родо-видовым» отношением: более широкое по объему понятие A называют «родом», а понятие B называют «видом».

Тождество

Объемы понятий A и B совпадают, т.е. это одна и та же совокупность предметов, отображаемая с точки зрения разных существенных свойств двумя понятиями, например: «первый космонавт» и «Ю.А. Гагарин», «квадрат» и «равноугольный ромб», «храбрый» и «смелый».

Несовместимыми называются понятия, объемы который не имеют общих элементов, т.е. нет предметов, которые одновременно включались бы как в объем одного, так и в объем другого понятия. Существует три разных отношения между объемами таких понятий.

Соподчинение

Объемы понятий A и B полностью различны, но они все-таки сравнимы, т.е. имеют в своих содержаниях какие-то общие черты. Именно это мы и имеем в виду, когда помещаем их в объем третьего, более широкого понятия C, видами которого являются наши несовместимые понятия. Например, понятие A – «дуб», понятие B – «береза». Эти понятия не имеют общих элементов, нет предмета, который одновременно был бы и дубом и березой, однако и дубы, и березы включаются в объем более широкого понятия «дерево» (C).

Противоположность

Выше нам было безразлично, как именно располагаются наши дубы и березы в объеме понятия «дерево». Но иногда это имеет значение, ибо предметы, входящие в объемы сравниваемых понятий, стремятся как можно дальше отодвинуться друг от друга, как бы тяготеют к разным полюсам в объеме третьего родового понятия. Например, «богатые» – «бедные», «трусливые» – «храбрые», «здоровые» – «больные» и т.п. Такие понятия называются «противоположными».

Противоречие

Два сравниваемых понятия не просто тяготеют к разным полюсам в объеме третьего понятия, но вместе полностью исчерпывают объем этого третьего понятия, например, «богатый» – «небогатый», «здоровый» – «нездоровый» и т.п. Такие понятия называются «противоречащими» друг другу. При выражении противоречащих понятий в языке одно из них содержит, как правило, отрицательную частицу: «неумелый», «невежливый», «невысокий» и т.п. Отличить противоположность от противоречия нетрудно: противоположные понятия оставляют между своими объемами некоторую «прокладку», т.е. те предметы, которые не включаются ни в первое, ни во второе понятие; противоречащие понятия полностью исчерпывают объем третьего, более широкого понятия.

Порой бывает полезно с помощью этих простых схем наглядно представить себе отношения между объемами тех или иных понятий. В каком, например, отношении находятся следующие понятия:

A – врач,

B – хирург,

C – женщина.

Берем первую пару понятий. Каково отношение между врачами и хирургами? Пересечение? Нет, ибо тогда часть хирургов окажется вне круга врачей. А что это за хирурги, которые не являются врачами? Бандиты! Все хирурги должны войти в число врачей. Тогда между объемами этих понятий должно быть отношение подчинения: все хирурги врачи, но не все врачи – хирурги. Теперь можно приняться за женщин. Могут женщины быть хирургами? Могут. Могут женщины быть врачами других специальностей – терапевтами, отоларингологами, психиатрами? Могут. А могут ли они быть просто женщинами, не врачами? Еще как могут! Тогда круг женщин пересекаем с обоими кругами:

Рисование кружков кажется детским занятием. Однако оно полезно в том отношении, что заставляет нас задуматься над содержанием даже хорошо известных нам понятий. Смысл, содержание многих слов мы схватываем довольно поверхностно, поэтому плохо представляем себе, к каким объектам они относятся. Пытаясь точно представить отношения между объемами понятий, мы гораздо яснее и глубже начинаем понимать их содержание. Попробуйте изобразить отношения между объемами очень хорошо известных вам понятий: 5) мать – дочь – бабушка – женщина, и вы убедитесь, как мало мы вдумываемся в значения этих слов!

Пора немного подумать! Многие из вас помнят детскую задачку о волке, козе и капусте, которых нужно было по очереди перевезти на другой берег реки и при этом не допустить, чтобы коза съела капусту, а волк сожрал козу. Она представляет собой упрощенный вариант довольно старой задачи, имеющей множество сложных вариантов. Вот один из них.

6) На берег реки приехали 3 рыцаря, каждый со своей дамой. У берега реки стоит лодка, способная вместить не более двух человек. Как с помощью этой лодки рыцарям и их дамам переправиться на другой берег, если должно быть выполнено условие: ни одна дама не может оказаться в обществе других рыцарей, если рядом с ней нет ее собственного рыцаря? Лошади переплывают реку сами, дамы способны грести веслами не хуже рыцарей, в лодку входят и из нее выходят по одному, лодка может пересекать реку сколько угодно раз, обратно лодку кто-то должен пригнать и т.п. Не выдумывайте ситуаций, когда кто-то прыгает из лодки на берег, а с берега другой прыгает в лодку и оказывается, что оба парят в воздухе!

Попробуйте найти хотя бы один способ переправы.

Слова нашего повседневного языка и выражаемые ими понятия часто оказываются неточными и неясными. Это приводит к ошибкам в рассуждениях, к бесплодным спорам, служат основой софистики и демагогии. Логика пытается устранить неясность и многозначность выражений нашего языка или хотя бы обратить на них внимание.

Неточным является такое понятие, границы объема которого расплывчаты, неопределенны.

Возьмите, скажем, понятие «молодой человек». Ну, в 20 лет человека можно считать молодым. А в 30? А если человеку уже перевалило за 40? Нет четкой границы между молодым и немолодым человеком. Таковы же понятия «высокий», «дом», «окно», «далекий» и т.д. Взгляните, как легко впасть в противоречие при использовании неточного понятия! Известно, что на голове человека около 100 тыс. волос. Выберем 100 тыс. человек и выстроим их в ряд. Первым поставим человека с наибольшим количеством волос на голове; вторым – того, у которого на один волос меньше; третьим – того, у которого на один волос меньше, чем у второго, и т.д. Последним в ряду будет человек, у которого на голове нет ни одного волоса. Пройдемся вдоль этого ряда. Первый человек в ряду, безусловно, не лысый. Взяв произвольную пару из этого ряда, найдем, что если первый из пары – не лысый, то и второй не будет лысым, ведь у него всего на один волос меньше! Отсюда на основании математической индукции следует, что ни одного человека из этого ряда нельзя назвать лысым. Но ведь последний в ряду – совершенно лысый человек! Таким образом, глаза нам говорят одно, а разум – совсем другое. Чтобы не сталкиваться с подобными противоречиями, нужно стремиться заменять неточные понятия точными.

Неясными называют понятия с неопределенным содержанием. Все мы часто пользуемся словом «игра»: игра в футбол, игра в шахматы, игра актеров в театре и кино. Но попробуйте сказать, что такое «игра» вообще? Как только мы задумываемся над этим вопросом, сразу же выясняется, что на него чрезвычайно трудно ответить, ибо содержание понятия «игра» совершенно неопределенно. Сейчас в средствах массовой информации часто можно услышать слова «народ», «цивилизация», «интеллигенция», «собственность», «наука» и т.п. – все эти понятия весьма неясны по своему содержанию, что позволяет манипулировать ими в демагогических рассуждениях.

Наконец, еще одна особенность нашего повседневного языка заключается в том, что большая часть его слов и выражений многозначна, т.е. в разных случаях употребления они получают различные значения. Возьмите, например, два выражения: «глубокая впадина» и «глубокие знания». Слово «глубокий» имеет совершенно разные смыслы в первом и во втором выражениях. Многозначность слов затрудняет взаимопонимание и часто приводит к ошибкам. Например, учитель спрашивает: «Что такое монархия?» «Это когда правит король», – отвечает ученик. «А если король умирает?» – «То правит королева». – «А если и королева умирает?» – «Ну, тогда правит валет». Ученик путает представителей королевской семьи с персонажами карточной колоды и словам «король» и «королева» придает совсем не то значение, которое имеет в виду учитель. Логика требует, чтобы в разговоре или в конкретном рассуждении слова употреблялись только в одном смысле.

Попробуйте понять, в чем состоит двусмысленность следующих ниже выражений и диалогов.

– Джексон, что случилось? – спрашивает поручик идущего по двору рядового Джексона с загипсованной рукой.

– Я сломал руку в двух местах, сэр.

– Впредь избегайте этих мест. Джексон.

-

Перед началом операции хирург намеревается продезинфицировать руки.

– Спирту! – приказывает он ассистентке. Больной, испуганно:

– Умоляю вас, доктор, только не перед операцией!

Проходя мимо аптеки, человек увидел в витрине симпатичный флакон, на котором крупными буквами было написано: «От насморка и кашля – один доллар». Обрадовавшись, он купил заманчивый флакон и отправился домой.

Не прошло и суток, как он прибежал назад в аптеку с жалобой, что стал кашлять еще сильнее, несмотря на то, что выпил целый флакон.

– Выпил! – закричал аптекарь. – И вы еще живы? Да ведь это же специальный состав для пропитки обуви, чтобы она не пропускала влагу!

Жертву дорожного происшествия доставили в госпиталь.

В приемном отделении, записывая его данные, сестра спрашивает:

– Женаты?

– О нет, нет, – вздрагивает пострадавший, – я просто попал под автомобиль.

Властная дама приказывает своему мужу:

– Дорогой! Пойди и отнеси это письмо на почту.

– Но ты же видишь, дождь льет как из ведра. В такое время даже нашу собаку не выведешь на улицу.

– А вот собаке там делать нечего!

Разговор в поезде:

– Вы знаете, у меня жена – ангел!

– Счастливец, а моя еще жива.

Жена фермера говорит мужу:

– Дорогой, а ведь завтра 25 лет, как мы с тобой женаты! Не заколоть ли по этому поводу кабанчика?

– Вот еще вздор! Кабанчик-то в чем виноват?

Во время тренировки пожарный Д.Д. Погорелов сорвался с 40-метровой лестницы и упал на бетонную мостовую. Но он остался жив, избежав даже ушибов и царапин. Врач «скорой помощи» высказал предположение, что благополучный исход можно объяснить тем, что Погорелов успел подняться только на вторую ступеньку лестницы.

Какое выражение понимается двояко?

– Тебе повезло на охоте за тиграми?

– О да, страшно повезло! Я не встретил, слава Богу, ни одного тигра.

Какой части предложения можно придать два смысла?

Тетушка зашла в магазин купить щенка для своей племянницы – подарок ко дню ее рождения.

– Вы уверены, что вот этот щенок будет подходящим подарком?

– Безусловно, – ответил продавец. – Он очень добр и доверчив, ест все подряд и особенно любит детей.

-

В чем источник непонимания?

Приезжий: Ну что это за комнатушка? Да здесь и кошке негде повернуться?

Хозяин отеля: Не надо волноваться, сэр, в наш отель мы кошек не пускаем.

Для устранения неясности понятой и уточнения их содержания используется операция определения понятий.

Определение есть логическая операция, раскрывающая содержание понятия и позволяющая отличать определяемые предметы от других, сходных с ними предметов.

Когда содержание некоторого понятия вам известно плохо или вообще неизвестно, вы задаете вопрос: «Что это такое?» В ответ вам дают определение. Например, вы спрашиваете: «Что такое квадрат?» Вам отвечают: «Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами» – это и есть определение.

Определение говорит о тождестве двух понятий – определяемого и определяющего. Содержание определяемого понятия вам не известно, и оно раскрывается через известные вам определяющие понятия. В приведенном примере предполагается, что вы знаете, что такое прямоугольник и что такое равенство сторон. Для того чтобы определение выполняло свою задачу и действительно раскрывало содержание определяемого понятия, нужно при формулировке определения соблюдать некоторые простые правила.

1. Определение должно быть соразмерным, т.е. определяемое и определяющее понятия должны быть тождественны по своему объему.

Ну, конечно! Определение говорит о тождестве двух понятий, следовательно, эти два понятия относятся к одной и той же совокупности предметов. Нарушение этого правила приводит к ошибкам двоякого рода. Либо объем определяющего понятия больше объема определяемого понятия – тогда наше определение будет слишком широким; либо объем определяющего понятия меньше объема определяемого понятия – тогда наше определение будет слишком узким. Например:

Лампа есть источник света.

Данное определение отождествляет понятие «лампа» с понятием «источник света». Но последнее гораздо шире по своему объему: источником света являются и лампа, и Солнце, и электрический фонарь, и Луна. Это слишком широкое определение.

Треугольник есть плоская фигура стремя равными сторонами.

Это слишком узкое определение, оно исключает из числа треугольников фигуры с разными сторонами.

2. Определение должно быть точным и ясным.

Это правило говорит о том, что при определении нельзя использовать неточные и неясные понятия, о которых мы говорили в предыдущем разделе. Здесь следует обратить внимание на то, что слова, понятия, используемые в определяющей части, должны быть известны вам – тому человеку, для которого дается определение. Сами по себе они могут быть точны и ясны, но если их значение вам не известно, то определение не даст вам никакой информации. Данное требование исключает из числа определений всякого рода метафоры, крылатые выражения, сравнения и т.п. Например:

Лень – мать всех пороков.

Лев – царь зверей.

Религия – опиум для народа.

3. Определение не должно содержать в себе круга.

Здесь мы впервые сталкиваемся с ошибкой «порочного круга», которая проникает во многие логические операции. Суть этой ошибки заключается в том, что интересующее вас понятие определяется посредством других понятий, содержание которых само раскрывается через определяемое понятие. Например:

Вращение есть движение вокруг оси.

Как будто бы все хорошо. Но что такое «ось»?

Ось есть прямая, вокруг которой осуществляется вращение.

Таким образом, понятие «вращение» определяется с помощью понятия «ось», а понятие «ось», в свою очередь, определяется с помощью понятия «вращение». Получается «порочный круг», и человек, обращающийся к определению, не получает никакой информации о содержании интересующего его понятия. Например, в одном из рассказов польского писателя С. Лема мы читаем:

«Сепульки есть объекты, служащие для сепуления».

А что же такое «сепуление»?

«Сепуление – процедура, производимая с помощью сепульки».

Мы так и не узнаем, что такое «сепульки» и «сепуление».

Дать хорошее определение трудно, но можно хотя бы научиться устанавливать, насколько хорошим является данное вам определение. Для этого, столкнувшись с определением, задайте себе вопрос:

«Смогу ли я на основании данного определения отличить определяемые предметы от всех остальных предметов?» Если сможете – определение является хорошим, оно действительно раскрывает содержание интересующего вас понятия; если же вы будете путать определяемые предметы с другими предметами – данное вам определение является плохим, какое-то из указанных выше правил в нем нарушено.

7) В пещере лежат 4 колпака – 2 белых и 2 черных. В пещеру входят три мудреца, которые знают, сколько там лежит колпаков и какого цвета. Но в пещере темно, поэтому мудрецы на ощупь выбирают себе колпак, надевают на голову и по одному выходят из пещеры. Первый идет куда глаза глядят. Второй идет за ним и видит, какого цвета на нем колпак. Третий идет последним и видит, какого цвета колпак на первом и втором. Вопрос: всегда ли среди этих трех мудрецов найдется тот, который догадается, какого цвета на нем колпак, и громко воскликнет: «Я знаю, на мне…!»? Ответ нужно обосновать.

Мудрецы не оборачиваются, не разговаривают и т.д. Они должны догадаться.

Для устранения неточности понятий используется другая логическая операция – деление. Она приобретает особое значение, когда объем рассматриваемых нами понятий очень велик и в нем трудно ориентироваться. Тогда мы часто разбиваем его на какие-то части, группы, классы – это и есть деление.

Деление есть логическая операция, раскрывающая объем понятия посредством разбиения его на виды.

Например, органы чувств подразделяются на органы зрения, слуха, обоняния, осязания и вкуса; высшие растения делятся на травы, кустарники и деревья. В повседневной жизни мы разделяем людей в зависимости от их роста на высоких, средних и маленьких; пищу, которую потребляем, – на вкусную и невкусную; вещи, которые носим, – на дорогие и дешевые…

В операции деления присутствуют три элемента: делимое понятие; основание деления – один из признаков предметов, образующих объем делимого понятия, опираясь на который мы производим деление; члены деления – те виды, которые получаются в результате деления. Например: люди делятся на блондинов, брюнетов, шатенов, рыжих и альбиносов. Здесь делимым понятием будет понятие «люди»; основанием деления – цвет волос; членами деления – блондины, брюнеты и т.д. Для того чтобы деление не приводило нас к ошибкам, чтобы оно действительно раскрывало объем интересующего нас понятия, при совершении деления нужно соблюдать некоторые простые правила.

1. Деление должно быть соразмерным, т.е. сумма членов деления должна быть в точности равна объему делимого понятия.

Нарушение этого правила приводит к ошибкам двух видов.

а) Неполное деление – когда перечисляются не все виды делимого родового понятия, например:

«Энергия делится на механическую и химическую» (не указана электрическая и атомная энергия).

б) Деление с лишними членами – когда в результате деления к объему делимого понятия добавляются предметы, которых там первоначально не было, например: «Химические элементы делятся на металлы, неметаллы и сплавы» (сплавы не входят в объем понятия «химический элемент»).

2. Члены деления должны исключать друг друга, т.е. не иметь общих элементов, быть соподчиненными понятиями, объемы которых не пересекаются. Иначе говоря, каждый элемент из объема делимого понятия должен попасть только в один класс, в противном случае возникнет путаница, а не прояснение объема интересующего нас понятия. Пример: «Войны бывают справедливыми, несправедливыми, освободительными, захватническими и мировыми». Здесь члены деления не исключают друг друга: справедливая война может быть освободительной, захватнические войны – все несправедливые, и те и другие могут быть мировыми. Хорошее деление можно сравнить с разрезанием пирога: куски пирога четко отделены друг от друга и не может быть так, чтобы часть одного куска была в то же время частью другого куска. Таким же должно быть и деление понятий.

3. Деление должно производиться только по одному основанию, нельзя в процессе деления заменять один признак, опираясь на который вы начали деление, другим признаком. Например: «Люди бывают богатыми, бедными и лысыми».

Деление понятий следует отличать от мысленного расчленения предмета на части. Последняя операция также широко используется в повседневной, жизни: квартиру мы членим на комнаты, кухню, коридор и туалет; автомобиль – на мотор, кузов, колеса; завод – на цеха и т.п. Однако деление понятий и расчленение предмета на части – совершенно разные операции, и их смешение приводит к путанице. Кому, например, нужно такое деление: «Дома делятся на жилые, нежилые и квартиры» или «Самолеты делятся на гражданские, военные, колеса и крылья»?

8) Сейчас я докажу вам, что 3 раза по 2 будет не 6, как выдумаете, а всего 4. Следите за моими рассуждениями. У меня в руке 2 спички – 1 пара.

Я ломаю одну спичку и получаю вторую пару. Две пары есть.

Я ломаю вторую спичку и получаю третью пару.

Однако, взяв три раза по 2, я получаю всего 4. Посмотрите и убедитесь: на моей ладони лежат всего 4 обломка.

Где я совершил ошибку?

1) Кажется, это вопрос того типа, что задал бравый солдат Швейк членам медицинской комиссии, однако это не так. Разговоры о Нью-Йорке, Лиссабоне и террористе имеют цель отвлечь ваше внимание от того факта, что пилот – это вы сами и ему столько же лет, сколько и вам.

2) Начинаются размышления: может быть, это не родной, а приемный сын? Обычно первыми находят ответ девушки: да, такое часто бывает, это дочь.

3) Машина, ветер, кефир, железо, колбаса, помидор, красота, дума, море, пенал, крокодил, цветок, люстра, жаркое, миска, булка, старик.

4) Основная идея решения состоит в том, что 9 монет нужно разделить на 3 кучки по 3 монеты в каждой. Как только вы набрели на эту мысль, задача моментально решается: кладем на каждую чашку весов по 3 монеты, и 3 монеты остаются в стороне. Если весы остаются в равновесии, это означает, что фальшивая монета находится среди трех отложенных. Если же одна тройка монет тяжелее другой, то фальшивая монета – в той тройке, которая легче. Затем из тройки, содержащей фальшивую монету, берем две монеты и по одной кладем на чашки весов. Если весы остаются в равновесии, значит, фальшивой является та монета, которая осталась; если же одна из монет легче, то она и есть фальшивая.

5) Самое большое по объему из этих понятий – понятие «женщина». Но оно тождественно понятию «дочь», ибо каждая женщина является чьей-либо дочерью! Таким образом, самый большой круг представляет женщин и дочерей. Все мы женщины, все мы дочери, но некоторые из нас уже имеют собственных детей, т.е. стали матерями. Матерей меньше, чем дочерей, поэтому объем понятия «мать» включается в объем понятия «женщина-дочь». И наконец, некоторые из матерей обзавелись внуками и стали бабушками. Они остаются женщинами, дочерьми, матерями, но приобретают еще одно дополнительное свойство. Бабушки включаются в класс матерей. Все изображение представляет собой ряд вложенных один в другой кругов.

6) У нас имеется 3 позиции: на левом берегу, в лодке и на правом берегу. Мы должны перевозить рыцарей и дам таким образом, чтобы ни одна дама без своего рыцаря ни на миг не оставалась с чужим рыцарем в какой-либо из этих позиций. Здесь, как и во многих других случаях, очень облегчает рассуждения введение подходящей символики. Обозначим рыцарей и их дам соответственно большими и маленькими буквами: Аа, Бб, Вв. Основная идея решения заключается в том, что дамы возят рыцарей!

Дама а берет своего рыцаря А, садится с ним в лодку и перевозит его на другой берег. Высадив рыцаря А на берег, дама а возвращается, но на берег не выходит.

К ней в лодку садится дама б, они переплывают реку, и дама а выпрыгивает на берег к своему рыцарю А.

Затем дама б возвращается за своим рыцарем Б, перевозит его на другой берег и опять возвращается за дамой в. Дама в садится в лодку, они переплывают реку, дама б высаживается на берег, где ждет ее рыцарь Б, а дама в едет обратно и привозит своего рыцаря В.

7) На первых двух мудрецах могут быть колпаки следующих цветов: 1) белый – белый; 2) черный – черный; 3) белый – черный; 4) черный – белый.

Если третий мудрец видит перед собой два белых колпака, то он догадывается, что на нем самом черный колпак (ведь он же мудрец!); если он видит перед собой два черных колпака, то он опять-таки догадывается, что на нем самом белый колпак. Таким образом, в случаях 1 и 2 догадывается и восклицает третий мудрец. Если же он идет и молчит, то второй мудрец понимает, что имеет место 3-й или 4-й вариант. Посмотрев на колпак первого мудреца, второй мудрец определяет, какой колпак на нем самом: если на первом – белый, то на нем самом должен быть черный; если же на первом мудреце черный колпак, то на нем самом должен быть белый.

Таким образом, один из мудрецов обязательно догадается, какого цвета на нем колпак.

8) Моя ошибка заключается в том, что я посчитал первую пару – целых спичек, – а затем уничтожил ее, поэтому и осталось всего 4 кусочка.

Структура языка в своих общих чертах воспроизводит структуру мысли. Словам и словосочетаниям в мышлении соответствуют понятия; мысленным содержанием предложений является суждение – более сложная форма мысли, для которой понятия служат лишь строительным материалом.

Суждение есть такая форма мысли, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов и явлений, о связях между предметами и их свойствами или об отношениях между предметами.

Наличие утверждения или отрицания служит отличительной характеристикой суждения как особой формы мысли. Именно благодаря этому суждение обладает еще одним важным признаком: оно может быть истинным или ложным. Ни одна другая форма мысли не обладает этими особенностями. Когда мы пользуемся понятиями, произносим, например, слова «стул», «русалка», «Килиманджаро», мы ничего не утверждаем и не отрицаем относительно предметов, входящих в объемы этих понятий. Поэтому понятия не оцениваются как истинные или ложные. Но когда мы высказываем суждение, например, «Килиманджаро находится в Африке», мы уже что-то утверждаем о Килиманджаро, и это утверждение может оказаться как истинным, так и ложным. В этом заключается величайшая ценность суждений для познания: именно в суждении выражается та истина, которую мы ищем, на которую опираемся в своей деятельности и в своих рассуждениях.

В языке суждения выражаются посредством повествовательных предложений. Вопросительные предложения не выражают суждений, ибо не содержат в себе ни утверждения, ни отрицания, характерных для суждений. Например: «Что день грядущий мне готовит?», «Когда ты ко мне придешь?» – здесь нет ни утверждения, ни отрицания, поэтому вопрос и не оценивается как истинный или ложный, т.е. не выражает суждения. Правда, вопрос опирается на суждение или, как говорят, неявно содержит в себе суждение. И если суждение, лежащее в его основе, истинно, вопрос оценивается как осмысленный, если же оно ложно, вопрос не имеет смысла. Когда вы спрашиваете: «Кто там стучит?», то вы неявно предполагаете, что кто-то стучит, т.е. что суждение «Сейчас кто-то стучит» истинно. Если же в полной тишине вы спросите: «Кто там стучит?», окружающие подумают, что у вас галлюцинации.

Восклицательные предложения, когда они выражают побуждение к действию или эмоциональное состояние, также не являются суждениями. Например: «Дай, Джим, на счастье лапу мне!» или «Граждане, будьте взаимно вежливы!» – здесь ничего не утверждается и не отрицается, следовательно, здесь нет суждения.

Итак, только повествовательные предложения выражают суждения. Но и то не все. Когда-то считали, что любое правильно построенное повествовательное предложение выражает суждение. Однако в конце XIX – начале XX в. было обнаружено, что среди правильно построенных предложений могут встречаться бессмысленные предложения, т.е. такие, которые не выражают суждений. К сожалению, несмотря на усилия многих ученых, логика до сих пор не может ясно ответить на вопрос о том, когда некоторое предложение является осмысленным, а когда – бессмысленным. Здесь приходится полагаться на интуицию. Возьмем, например, предложение: «Семь есть нечетное число». Здесь имеется утверждение, следовательно, это предложение выражает суждение, и даже истинное. Теперь в этом предложении слово «семь» заменим словами «Юлий Цезарь», получим: «Юлий Цезарь есть нечетное число». Грамматическое строение сохранилось, но осмысленно ли получившееся предложение? Многие ученые считают, что такие предложения, как «Глубокая корова весело смеялась» или «Мама, ваш сын прекрасно болен – у него пожар сердца», бессмысленны.

Если вы согласны с этим, то вам придется признать бессмысленной почти всю поэзию, значительную часть прозы и громадные пласты повседневной речи. Вы слышали, как армейский старшина обращается к солдатам: «Опять водку пьянствуете, а потом ходите красные, как огурцы!» или «Ваши знания гроша выеденного не стоят!» А вот высказывания из школьных сочинений: «Соловей сидел на ветке и громко каркал»; «У него был нос с тонкими чертами лица»; «Если огород не поливать, то удои капусты уменьшатся»; «Зайцы сидели под кустом, тихо сложив руки»; «Володя бежал, весело перебирая двумя ногами» и т.п.

С точки зрения логики все эти высказывания бессмысленны. В то же время мы их понимаем, схватываем какую-то содержащуюся в них мысль или образ, следовательно, в них есть какой-то смысл. Логика вырабатывает все более точные и тонкие критерии осмысленности предложений, но человеческий язык всегда будет выходить за пределы этих критериев. И это естественно и прекрасно!

1) Расстояние между городами A и B равно 30 км. Однажды утром из этих городов навстречу друг другу вышли два пешехода со скоростью 5 км в час каждый. Одновременно с одним из них в поход вылетела муха и полетела навстречу другому пешеходу со скоростью 10 км в час. Встретив второго пешехода, муха тотчас же поворачивает обратно и летит до встречи с первым пешеходом. Затем опять поворачивает и так летает между пешеходами до тех пор, пока они не встретятся. В момент встречи муха успокаивается и садится одному из пешеходов на шляпу. Сколько километров до встречи пешеходов пролетела муха?

Простым называется суждение, не содержащее логических связок. (Вопрос о том, что такое логические связки, рассмотрим позже, а пока удовлетворимся этим определением.)

Атрибутивное суждение утверждает или отрицает принадлежность предмету каких-либо свойств, состояний, видов активности, например: «Роза приятно пахнет», «Кролики не едят мяса». Оно состоит из трех элементов: субъекта, предиката и связки.

Субъектом суждения называют понятие о предмете нашей мысли: о чем (о ком) мы мыслим, о чем мы судим? В приведенных примерах в качестве субъекта выступают понятия «роза» и «кролики».

Предикатом суждения называют понятие о признаке или состоянии, наличие или отсутствие которого отображается в суждении: что мы приписываем предмету нашей мысли или что мы отрицаем у него? В приведенных примерах предикатом являются понятия «приятно пахнет» и «едят мясо».

Субъект и предикат – это два понятия, входящие в состав суждения. Однако, просто высказав два каких-то понятия, мы еще не получим суждения. Их еще нужно связать, поставить в определенное отношение – только тогда они образуют новую форму мысли. Поэтому третьим необходимым элементом суждения является связка. В русском языке связка выражается словами «есть», «суть», «является» или их временными и модальными формами, иногда она заменяется тире, а часто и вовсе опускается, однако она всегда присутствует в суждении, ибо только связка вносит в суждение тот элемент утверждения или отрицания, без которого оно распадается на два безразличных друг другу понятия.

Субъект суждения принято обозначать буквой «S» (от лат. Subjectum), предикат – буквой «P» (от лат. Praedicatum), и в обобщенном виде логическая структура простого атрибутивного суждения может быть представлена как «S есть P» или «S не есть P». Во избежание ошибок при разнообразных манипуляциях с суждениями следует всегда формулировать связку в явном виде и представлять суждение в канонической форме, например, в суждении «Кролики не едят мяса» нужно увидеть каноническую структуру: «Кролики не есть едящие мясо».

Обратите внимание на то, что членение суждения на субъект и предикат не совпадает с членением предложения на подлежащее и сказуемое, ибо в первом случае мы выделяем элементы мысли, а во втором – элементы ее языкового выражения. Грамматика говорит также о второстепенных членах предложения – дополнениях, обстоятельствах и т.д., логика от всего этого отвлекается. Например, в предложении «Громко квакали зеленые лягушки» подлежащим будет слово «лягушки», сказуемым – «квакали», «зеленые» – определением, «громко» – обстоятельством действия. С точки зрения логики, в суждении, выражаемом данным предложением, всего лишь два понятия: «зеленые лягушки» является субъектом, а «громко квакали» – предикатом. Связка опущена и выражается согласованием слов.

Структура мысли всегда проще, чем структура выражающего его предложения, ибо мысли по своему строению приблизительно одинаковы у всех людей, а языки народов сильно отличаются в силу случайностей исторического развития: в одних языках есть артикль, в других – нет; в английской грамматике, по сути, нет деления существительных по родам, в русском – оно есть; в немецком языке обязательно присутствие в предложении вспомогательных глаголов, в русском языке мы обходимся без них и т.д.

2) По реке плывут 3 парохода. Навстречу им плывут другие 3 парохода. Река настолько узкая, что, пароходы разъехаться не могут. Однако на реке, как раз на месте встречи, имеется небольшой залив, вмещающий только один пароход. Могут ли и каким образом пароходы разойтись и продолжить свой путь по реке в том же порядке, в котором они встретились?

По качеству связки («есть» или «не есть») простые суждения разделяются на утвердительные и отрицательные. «Книги стоят на полках» – утвердительное суждение; «Попугаи не живут в Сибири» – отрицательное. Следует обратить внимание на то, что в отрицательных суждениях отрицание «не» стоит перед связкой. Отрицательные суждения нельзя смешивать с утвердительными суждениями, в которых предикатом является отрицательное понятие типа «несмелый», «неумелый», «невысокий» и т.п. Когда мы слышим: «Петр не глуп», то далеко не всегда ясно, что имеется в виду – отрицательное суждение «Петр не есть глуп» или утвердительное суждение с отрицательным предикатом «Петр есть неглуп». Но это – разные суждения, отождествление которых может приводить к логическим ошибкам.

В зависимости от того, обо всем объеме субъекта идет речь в суждении или лишь о его части, суждения подразделяются на общие и частные. Это называется разделением суждений по количеству. Для указания количества суждения перед субъектом обычно ставится кванторное слово (или просто квантор): все, всякий, каждый, ни один – для общих суждений (эти слова показывают, что в суждении речь идет обо всех предметах, включенных в объем субъекта); некоторые, большинство, отдельные – для частных суждений (эти слова показывают, что в суждении речь идет лишь о некоторых предметах, входящих в объем субъекта). Иногда квантор не имеет явного языкового выражения и лишь подразумевается, но при выявлении логической структуры суждения его следует формулировать в явном виде. Пример: «Ни один кит не является рыбой» – общее суждение; «Некоторые цветы – розы» – частное.

Объединяя разделение суждений по качеству и количеству, мы получаем объединенную классификацию простых суждений, включающую в себя суждения четырех различных типов.

Общеутвердительные суждения: «Все S есть P», например: «Все люди – позвоночные».

Общеотрицательные суждения («Ни одно S не есть P»), например: «Ни один таракан не является лошадью».

Частноутвердительные суждения: «Некоторые S есть P», например: «Некоторые элементарные частицы имеют положительный заряд».

Частноотрицательные суждения: «Некоторые S не есть P», например: «Некоторые деревья не являются хвойными».

Единичные суждения, т.е. суждения, говорящие об отдельных предметах, в этой классификации относятся к общим суждениям, например, «Автор „Гулливера“ жил в Англии» рассматривается как общее, поскольку в нем речь идет обо всем объеме субъекта, подразумевается, что, так сказать, «всякий автор „Гулливера“» или «весь автор „Гулливера“» жил в Англии. Точно так же обстоит дело со всеми другими единичными суждениями.

3) Идет как-то крестьянин по дороге и причитает: «Ну что же это такое! Вечно у меня ничего нет! Вон, посмотришь, у других – было много, а стало еще больше. А у меня в кармане только несколько копеек осталось. Хоть бы кто-нибудь мне помог!» Только он эти слова произнес, а перед ним – сам черт! Все как полагается – копыта, хвост, морда отвратительная, но… улыбается. «Давай помогу, – предлагает черт крестьянину. – Видишь мост через реку? Как только перейдешь по мосту на другой берег – деньги у тебя в кармане удвоятся. Перейдешь назад – опять удвоятся, и так будут удваиваться всякий раз, как ты по мосту пройдешь. Одно только условие: каждый раз, когда ты через мост пройдешь, будешь отдавать мне 24 копейки, остальное – твое. Согласен?» Подумал крестьянин: нет ли тут подвоха какого? Черт все-таки! Потом решился: «Согласен!»

Перешел крестьянин через мост один раз – и правда, количество денег в кармане удвоилось! Бросил черту 24 копейки, повернул назад, прошел через мост второй раз – опять денег стало вдвое больше! Бросил черту его 24 копейки, повернул и пошел через мост в третий раз. Деньги опять удвоились, да только отдал он черту 24 копейки и все – ничего у него в кармане не осталось, ни единой копеечки…

Сколько же денег было в кармане у крестьянина, когда он встретился с чертом? Сколько ему нужно было иметь, чтобы хотя бы остаться при своих? Сколько нужно было иметь, чтобы нажиться на этой сделке?

Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: a, b, c, d, … Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения – то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква «a» представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это «a» представляет истину или ложь. Если под «a» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Австралии», мы подразумеваем истину; если же под «а» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Сибири», мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы «a», «b», «c» и т.д. – это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «так как», «или» и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова «суждение», обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово «высказывание», обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение «Неверно, что…». Отрицание обычно обозначается знаком «¬», стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: «¬а» читается «Неверно, что а». Пример: «Неверно, что Земля – шар».

Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания – внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой «есть», то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: «Земля не шар». Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: «Неверно, что Земля – шар», то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы «и», «а», «но», «однако» и т.п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком «&». Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

a & b. Пример: «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята». Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: – «В корзине у деда лежали подберезовики» и «В корзине у деда лежали маслята».

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз «или». Обычно она обозначается знаком «v». Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: a v b.

Союз «или» в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое «или» – когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое «или» (часто заменяется парой союзов «либо…, либо…») – когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции – строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответствует союз «если… то». Она обозначается знаком «->». Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a -> b. Пример: «Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз «если… то» обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной.

4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: «Всякий приезжий, желающий поселиться на нашем благословенном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чужестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить». Боишься – тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать суждение, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

Теперь мы подошли к очень важному и трудному вопросу. Сложное суждение – это тоже мысль, которая что-то утверждает или отрицает и которая поэтому оказывается истинной или ложной. Вопрос об истинности простых суждений лежит вне сферы логики – на него отвечают конкретные науки, повседневная практика или наблюдение. Истинно или ложно суждение «Все киты – млекопитающие»? Нужно спросить биолога, и он скажет нам, что это суждение истинно. Истинно или ложно суждение «Железо тонет в воде»? Нужно обратиться к практике: бросим в воду какую-нибудь железку и убедимся, что это суждение истинно.

Короче говоря, вопрос об истинности или ложности простых суждений в итоге всегда решается посредством обращения к той реальности, к которой они относятся.

Но как установить истинность или ложность сложного суждения? Пусть у нас имеется некоторая конъюнкция «a & b» и нам известно, что суждение «a» истинно, а суждение «b» ложно. Что можно сказать об этом сложном высказывании в целом? Если бы в реальности существовал объект, к которому относится связка «&», то трудности не возникло бы: обнаружив этот объект, мы могли бы сказать: «Есть! Конъюнкция истинна!»; обшарив все вокруг и не обнаружив соответствующего объекта, мы бы констатировали: «Конъюнкция ложна». Но дело в том, что логическим связкам – как, впрочем, и союзам естественного языка – в реальности ничего не соответствует! Это изобретенные нами средства связи мыслей или предложений, это – орудия мышления, не имеющие аналогов в реальности. Поэтому вопрос об истинности или ложности высказываний с логическими связками – не вопрос конкретных наук или материальной практики, а чисто логический вопрос. И его решает логика.

Мы договариваемся или принимаем соглашения относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой считать истинными, а когда – ложными. Конечно, в основе этих соглашений лежат некоторые рациональные соображения, однако важно иметь в виду, что это – наши произвольные соглашения, принятые в целях удобства, простоты, плодотворности, но не навязанные нам реальностью. Поэтому мы вольны изменять эти соглашения и делаем это, когда считаем нужным.

Соглашения, о которых идет речь, выражаются таблицами истинности для логических связок, показывающими, в каких случаях высказывание с той или иной связкой считается истинным, а в каких – ложным. При этом мы опираемся на истинность или ложность простых суждений, являющихся компонентами сложного суждения. «Истина» («и») и «ложь» («л») называются «истинностными значениями» суждения: если переменная представляет истинное суждение, она принимает значение «истина»; если же – ложное, она принимает значение «ложь». Каждая переменная может представлять как истину, так и ложь.

Отрицание применяется к одному суждению. Это суждение может быть истинным или ложным, поэтому таблица для отрицания выглядит следующим образом:

[FIXME]

Если исходное суждение истинно, то его отрицание мы договариваемся считать ложным; если же исходное суждение ложно, то его отрицание мы считаем истинным. Кажется, такое соглашение соответствует нашей интуиции. Действительно, суждение «Байрон был английским поэтом» истинно, поэтому его отрицание «Неверно, что Байрон был английским поэтом» естественно считать ложным. Суждение «Афины находятся в Италии» ложно, поэтому его отрицание «Неверно, что Афины находятся в Италии» естественно считать истинным.

Таблицы истинности для остальных логических связок мы для удобства приводим все вместе:

[FIXME]

Все приведенные здесь связки соединяют два суждения. Для двух суждений имеется четыре возможности: оба могут быть истинными; одно истинно, другое – ложно; одно ложно, другое – истинно; оба ложны. Все эти возможности учтены как случаи 1-4.

Конъюнкция истинна только в одном случае – когда оба ее члена истинны. Во всех остальных случаях мы считаем ее ложной. В общем, это кажется довольно естественным. Допустим, вы говорите своему избраннику: «Я выйду за тебя замуж и буду тебе верна». Вы действительно вышли замуж за этого человека и храните ему верность. Он доволен: вы его не обманули, конъюнкция в целом истинна. Второй случай: вы вышли замуж, но не храните верности своему мужу. Он негодует, считает, что вы его обманули, – конъюнкция ложна. Третий случай: вы не вышли замуж за того, кому обещали, хотя и храните ему верность, лелея воспоминания о первой и, увы, единственной любви. Опять-таки он в расстроенных чувствах: вы его обманули – конъюнкция ложна. Наконец, четвертый вариант: вы и замуж за него не вышли и, естественно, верности ему не храните. Ваш поклонник в бешенстве: вы его нагло обманули – конъюнкция ложна.

Аналогичные соображения оправдывают и таблицу истинности для дизъюнкции. Несколько сложнее обстоит дело с импликацией. Рассмотрим суждение «Если солнце взошло, на улице стало светло». Здесь импликация соединяет два простых суждения «Солнце взошло» и «На улице стало светло». Когда оба они истинны, то импликацию в целом мы считаем истинной. Теперь второй случай: солнце взошло, но на улице светло не стало. Если такое вдруг произошло, мы сочтем нашу импликацию ложной: видимо, чего-то мы не учли, когда формулировали такую связь между двумя суждениями. Третий случай: солнце не взошло, но на улице стало светло. Опровергнет ли это нашу импликацию? Отнюдь нет, такое вполне возможно: на улице зажглись фонари, стало светло, но это не противоречит связи между восходом солнца и наступлением светлого времени суток. Импликацию можно считать истинной. Наконец, четвертый случай: солнце не взошло и светло не стало. Это вполне естественно, наша импликация остается истинной.

Поясняя таблицы истинности для логических связок, мы старались показать, что эти таблицы в какой-то мере соответствуют нашей языковой интуиции, нашему пониманию смысла союзов естественного языка. Однако не следует переоценивать степень такого соответствия. Союзы естественного языка гораздо богаче и тоньше по смысловому содержанию, нежели логические связки. Последние схватывают лишь ту часть этого содержания, которая относится к соотношениям истинности или ложности простых высказываний. Более тонких смысловых связей логические связки не учитывают. Поэтому иногда возможно довольно большое расхождение между логическими связками и союзами естественного языка. С помощью этих связок создают программы для компьютеров, и теперь вы можете понять, какую часть нашего мышления способен усвоить и использовать компьютер.

5) Как разделить 7 яблок поровну между 12 мальчиками, не разрезая при этом ни одного яблока на 12 частей? (Наложенное условие призвано исключить самое простое решение: разрезать каждое яблоко на 12 частей и дать каждому мальчику по одной дольке от каждого яблока или 6 яблок разрезать пополам, а 7-е яблоко разрезать на 12 частей.)

6) На одном острове живут два племени – молодцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На остров приезжает путешественник, который знает об этом, и, встретив местного жителя, спрашивает его: «Кто ты, из какого рода-племени?» «Я молодец!» – гордо отвечает абориген. «Вот хорошо, – обрадовался путешественник, – будешь моим проводником!» Гуляют они по острову и вдруг видят вдалеке еще одного аборигена. «Пойди спроси у него, – говорит путешественник своему проводнику, – из какого он племени?» Проводник сбегал вернулся и доложил. «Он сказал, что он – молодец!» «Ага, – подумал путешественник, – теперь я точно знаю, из какого племени ты сам!»

Как путешественник догадался, кем был его проводник?

Следует сказать хотя бы несколько слов о других типах – как простых, так и сложных – высказываний, изучаемых логикой.

Выше мы рассматривали суждения, которые просто констатировали, что между субъектом и предикатом некоторого суждения или между двумя суждениями имеется какая-то связь, никак не оценивая этой связи. Такие суждения называются ассерторическими. Наряду с ними в наш язык входят суждения, так или иначе оценивающие характер утверждаемой связи. Их называют модальными. Примеры: «Возможно, что существуют внеземные цивилизации», «Необходимо, что все тела падают на землю», «Случайно, что вчера шел дождь» и т.п. Слова, стоящие перед суждением и оценивающие характер выражаемой им связи – «возможно», «необходимо», «случайно» – и называются модальными словами или модальными операторами. Логика описывает различные модальности и выявляет логические связи между модальными высказываниями.

Большой интерес современной логики вызывают контрфактические высказывания – условные высказывания, выраженные в сослагательном наклонении, например: «Если бы в XIII в. русские князья были сплочены, они отразили бы татаро-монгольское нашествие»; «Если бы я был Наполеоном, то уж я-то не проиграл бы битву при Ватерлоо» и т.п.

Интерес к такого рода высказываниям обусловлен многими обстоятельствами. Во-первых, не ясно, каким должно быть их формальное представление. Если мы попытаемся представить эти высказывания в виде обычной импликации «a -> b», то сразу же получится, что все контрфактические высказывания истинны: импликация истинна, если ее первый член ложен, а в контрфактическом высказывании этот член всегда ложен, следовательно, все контрфактические высказывания при такой формализации следует признать истинными. Вряд ли с этим можно согласиться, поэтому до сих пор продолжаются поиски адекватной формализации таких высказываний.

Во-вторых, не совсем ясно, как отличить истинное контрфактическое высказывание от ложного и вообще можно ли говорить об их истинности или ложности. Мы считаем высказывание истинным, если оно соответствует действительности, т.е. реальность такова, как о ней говорится в высказывании. Но контрфактическое высказывание заведомо не соответствует действительности! Когда вы говорите: «Если бы сейчас было лето…» или «Если бы я не сломал ногу…», то подразумеваете при этом, что сейчас-то как раз не лето и нога у вас сломана. Тем не менее вопрос об истинности или ложности контрфактических высказываний не лишен смысла, ибо существуют противоположные контрфактические высказывания, с одним из которых мы согласны, а другое отвергаем, например: «Если бы я родился в XIX в., то я был бы современником Л. Толстого» и «Если бы я родился в XIX в., то я не был бы современником Л. Толстого». Только одно из этих двух контрфактических высказываний можно признать истинным. Но как обосновать истинность контрфактического высказывания? До сих пор это остается открытой проблемой.

Наконец, часто просто не понятно, что именно мы хотим сказать, пользуясь сослагательным наклонением. В некоторых случаях двусмысленность легко выявляется и может быть легко устранена. Например, два высказывания «Если бы Бизе и Верди были соотечественниками, то Визе был бы итальянцем» и «Если бы Бизе и Верди были соотечественниками, то Верди был бы французом» кажутся несовместимыми. Однако эта несовместимость иллюзорна: одно и то же предложение «Бизе и Верди – соотечественники» выражают два разных суждения. В одном случае мы хотим сказать:

«Если бы Бизе был соотечественником Верди», а в другом – «Если бы Верди был соотечественником Бизе». Таким образом, это просто два разных высказывания, с обоими из которых мы легко согласимся.

Сложнее обстоит дело с контрфактическими высказываниями, антецедент которых говорит о тождестве двух индивидов, например: «Если бы я был Наполеоном…». Мы часто пользуемся такими оборотами, но отдаем ли мы себе отчет в том, какую именно мысль хотим выразить? Думаем ли мы: «Если бы я был императором французов…» или «Если бы Наполеон обладал какими-то чертами моего характера…»? Но останусь ли я самим собой, если приобрету какие-то черты Наполеона? И вообще, что такое я? Вот к таким сложным и интересным вопросам приводят попытки разобраться с тем, что такое контрфактическое высказывание.

В современной логике принято различать аналитические и синтетические суждения. Впервые это разделение было осуществлено великим немецким философом И. Кантом (1724-1804). Аналитическим Кант называл такое суждение, предикат которого уже входит в содержание субъекта и, таким образом, ничего не добавляет к тому, что мы знали о субъекте. Например, суждение «Всякий холостяк неженат» является аналитическим, так как признак «быть неженатым» уже мыслится в содержании понятия «холостяк». «Всякое тело протяженно», «Москвичи живут в Москве» – все это аналитические суждения. Синтетическим является такое суждение, предикат которого добавляет что-то новое к содержанию субъекта, например: «Алмаз горюч», «Тихий океан – самый большой из океанов Земли» и т.п. Считается, что только синтетические суждения выражают новое знание, аналитические же представляют собой тавтологии, не содержащие никакой информации.

Различие между аналитическими и синтетическими высказываниями не является строгим и четким, ибо наши понятия в процессе развития познания изменяют свое содержание, включают в него новые признаки, а это приводит к тому, что какие-то синтетические высказывания становятся аналитическими. Имеется немало других видов суждений, логический анализ которых сталкивается с интересными и сложными проблемами, но, по-видимому, еще больше любопытных суждений, используемых нами в повседневных разговорах и профессиональных рассуждениях, остаются пока за пределами логического анализа.

1) Пешеходы встретились через 3 часа: каждому из них нужно было пройти половину пути, т.е. 30 км : 2 = 15 км. При скорости пешехода 5 км в час он пройдет 15 км за 3 часа. Следовательно, муха летала 3 часа со скоростью 10 км в час, значит, всего она пролетела 10 х 3 = 30 км.

2) Здесь нужно осознать одну простую мысль: пароходы способны двигаться не только вперед, но и назад, и тогда все становится легко. Допустим, один пароход из стоящих справа заходит в залив, а оставшиеся два отплывают назад; три парохода, стоящие слева, проплывают вперед мимо стоящего в заливе парохода, после чего он выходит из залива и плывет вперед по реке. Три парохода, ранее стоявшие с левой стороны, возвращаются на свое место, а из двух пароходов, оставшихся справа, один опять заходит в залив. Далее все повторяется до тех пор, пока в залив не войдет последний из стоявших справа пароходов; тогда пароходы, стоявшие слева, проплывают мимо него и следуют своим маршрутом, а оставшийся пароход выплывает из залива и присоединяется к двум, плывущим налево.

3) Можно, конечно, наобум выдвигать различные предположения, а затем проверять их: допустим, у крестьянина было 15 копеек; прошел он через мост первый раз – у него стало 30 копеек, из которых он 24 копейки отдал черту; у него, следовательно, осталось 6 копеек, с которыми он перешел мост во второй раз; после этого перехода у него стало 12 копеек. Но этого не хватит даже на то, чтобы отдать черту его 24 копейки! Значит, в начале денег у него должно быть больше. Допустим, у него было 20 копеек… и т.д.

Однако есть более экономный путь решения нашей задачи, прямо приводящий к искомому результату. Нужно двигаться с конца. После третьего перехода, как нам известно, у крестьянина образовалось 24 копейки, которые он и отдал черту. Значит, до перехода у него было 12 копеек. Но эти 12 копеек – то, что осталось у него после того, как он отдал 24 копейки черту. Поэтому после второго перехода через мост у него должно было образоваться 12 + 24 = 36 копеек. Значит, до этого перехода у него было 36 : 2 = 18 копеек. Опять-таки, это то, что осталось у него после расплаты с чертом, следовательно, всего у него было 18 + 24 = 42 копейки. Эта сумма возникла у него в кармане после первого перехода через мост, следовательно, до этого перехода у него была 42: 2 = 21 копейка. Таким образом, когда крестьянин встретился с чертом, в его кармане была 21 копейка.

Чтобы остаться при своих, ему нужно было иметь ровно 24 копейки. А чтобы нажиться на этой сделке с чертом, ему нужно было иметь хотя бы 25 копеек.

4) Это один из вариантов знаменитого парадокса, известного еще со времен античности. Некий критянин, житель острова Крита, однажды сказал: «Я лгу». Это, по-видимому, суждение, ибо здесь содержится утверждение о том, что произнесенное ложно. Истинно или ложно это суждение? Предположим, оно истинно. Но тогда говоривший действительно солгал, т.е. высказал ложь, следовательно, это суждение ложно. Хорошо, попробуем принять, что это суждение ложно. Но если оно ложно, тогда говорящий не солгал, т.е. сказал правду, следовательно, это суждение истинно. Таким образом, мы получаем парадоксальную ситуацию: признавая суждение «Я лгу» истинным, мы приходим к тому, что в таком случае оно должно быть ложным; признавая же суждение «Я лгу» ложным, мы приходим к тому, что его следует считать истинным.

Аналогично и в нашем случае. Чужестранец должен высказать суждение «Меня повесят», и с ним ничего нельзя будет сделать. Действительно, если попытаться повесить его, то окажется, что он сказал правду, а за правду приказано расстреливать, а не вешать. Если же попытаться его расстрелять, то в этом случае получится, что чужестранец солгал и его следует повесить. Таким образом, что бы мы с ним ни попытались сделать, в любом случае получается нарушение указа правителя острова. Поэтому придется отпустить его и выдать вид на жительство.

Быть может, вам будет небезынтересно узнать, что парадокс «Лжец» и его разнообразные проявления и варианты до сих пор не имеют общепризнанного решения. Иногда удается предотвратить появление парадоксов такого рода, однако это обычно достигается за счет наложения серьезных ограничений на использование языка. Так произошло, например, в математике. В конце XIX в. была создана теория множеств – математическая дисциплина, ставшая основанием всего величественного здания современной математики. Немецкий математик и логик Готлоб Фреге поставил перед собой грандиозную задачу: опираясь на простые и самоочевидные принципы логики и теории множеств, строго вывести из них арифметику натуральных чисел, затем – математический анализ и, таким образом, представить все ветви математики в виде единой стройной системы, похожей на систему евклидовой геометрии. В течение долгих лет Фреге упорно продвигался к своей цели, получая важные результаты и уточняя математический язык. Его фундаментальный труд «Основные законы арифметики» был уже в типографии, когда от молодого английского логика Бертрана Рассела он получил письмо, в котором тот сообщал об открытом им парадоксе в теории множеств. Фреге сразу оценил открытие Рассела: в фундаменте математики – этого образца строгости и точности – лежит противоречие! Работа Фреге в значительной мере потеряла смысл, что он сам с горечью вынужден был признать в предисловии к своему труду. Он был умным и язвительным человеком, в чем-то похожим на старого князя Болконского из «Войны и мира». Этот удар потряс его. И хотя после открытия парадокса Фреге прожил еще 25 лет и много работал, он не опубликовал ни одной статьи.

А Рассел впоследствии изложил свой парадокс в следующей шуточной форме. Представьте себе деревню, жители которой приняли решение: у местного деревенского брадобрея бреются те и только те жители деревни, которые не бреются сами. Кажется, это вполне естественно: либо ты сам бреешься, либо идешь к брадобрею. Но попробуйте теперь ответить на вопрос: что делает сам брадобрей – бреет он себя или нет? Допустим, он бреет сам себя. Но брадобрей – это же житель деревни, и раз он бреется сам, его не может брить брадобрей, т.е. он сам. Хорошо, пусть он себя не бреет. Но тогда он – житель деревни, который себя не бреет, следовательно, должен бриться у брадобрея, т.е. у самого себя. Итак, если брадобрей себя бреет, он не может этого делать; если же он себя не бреет, то обязан себя брить. Противоречие, парадокс!

5) Каждый мальчик должен получить 7/12 яблока; разложим эту дробь: 7/12 = 3/12 + 4/12, сократим числитель и знаменатель: 1/4 + 1/3. Теперь мы видим, что каждый мальчик получает две дольки: четвертую и третью часть яблока. Чтобы получить 12 четвертинок, нужно разрезать 3 яблока на 4 части; чтобы получить 12 третьих долей, нужно 4 яблока разделить на 3 части каждое. Таким образом, ответ: 4 яблока нужно разделить на 3 части, 3 яблока разделить на 4 части и эти доли раздать мальчикам.

6) Здесь нужно открыть одну простую мысль: к какому бы племени ни принадлежал местный житель, на вопрос: «Из какого ты племени?», он всегда ответит одно и то же: «Я молодец!» Если он действительно молодец, он о себе скажет правду; если же он лжец, он о себе солжет. Проводник принес путешественнику тот единственный ответ, который он мог услышать. Следовательно, он сам – молодец. А вот если бы он, вернувшись к путешественнику, сказал: «Он ответил, что он лжец!», то кем был бы проводник? Лжецом, конечно! Не мог он такого услышать.