Часть 3. Финансовая арифметика

Чтобы не делать ошибок при инвестировании, нужно уметь правильно оценивать перспективы и результаты операций с различными активами. В этой части мы немного окунемся в область финансовой математики и изучим несколько простых способов вычисления результатов различных операций.

Есть 50 000 рублей. Куда их можно вложить, чтобы приносили прибыль по 3 000 рублей в месяц?

Чтобы понять, насколько реалистична задача, поставленная в вопросе, следует вычислить, какой доходности соответствует прибыль в размере 3000 рублей в месяц на вложенные 50 000 рублей, и потом поискать финансовый инструмент, который может обеспечить получение такой доходности.

Доходность – это отношение полученной прибыли к сумме вложений, выраженное в процентах:

Где:

Доход – это все деньги, полученные в результате операции, то есть это и полученные проценты, и выручка от продажи активов, и любые другие виды доходов. Например, если мы купим на 50 000 какой либо актив и затем продадим его за 53 000 рублей, то наш доход составит 53 000 рублей, а прибыль, соответственно, 3000 рублей (Прибыль = Доход – Затраты = 53 000 рублей – 50 000 рублей = 3 000 рублей).

Затраты – это все деньги, потраченные на покупку активов, комиссии посредникам, расходы на хранение активов и любые другие расходы, связанные с инвестиционной сделкой. В нашем случае вложенные в активы 50 000 рублей являются Затратами.

Как вы помните, целью инвестиций является не вечное владение купленным активом, а увеличение количества вложенных денег. Формула доходности предполагает, что операция завершена и все купленные активы проданы.

Ожидаемая доходность от вложения наших 50 000 рублей составит:

Необходимость пересчитывать все результаты операций в относительные величины (в проценты) возникает из-за того, что суммы инвестиций в разные активы могут очень сильно отличаться. Это означает, что сравнивать полученные абсолютные цифры прибылей будет затруднительно. Вот, например, что лучше: получить прибыль в размере 12 485 рублей на вложенные 132 000 рублей, или 23 560 рулей при инвестициях в размере 443 000 рублей? Казалось бы 23 560 рублей явно лучше, чем 12 485 рублей. Но ведь сумма инвестиций во втором варианте существенно больше, чем в первом… В относительных величинах все становится более понятным: в первом случае доходность составит 9,46 %, а во втором – всего лишь 5,32 %. Выбор очевиден.

Однако ограничиться расчетом простой доходности можно только в случае, когда сравниваемые инвестиционные варианты одинаковы по срокам вложения денег. Если же сроки операций отличаются, то нужно обязательно принять это во внимание. Понятно, что при одних и тех же вложениях получить прибыль в размере 3000 рублей за месяц лучше, чем получить такую же прибыль за 3 месяца.

Для сравнения вариантов инвестиций, различающихся не только по суммам, но и по срокам, нужно рассчитать доходность за некоторый стандартный срок. В финансовом мире за стандартный срок инвестиций принимают 1 год. То есть мы должны посчитать, сколько процентов мы бы получили на свои вложения в случае, если бы операция заняла ровно год. Например, если мы вкладывали деньги на 1 месяц, то мы считаем, что за год мы могли бы совершить 12 таких операций, а если сделка занимает 2 года, то мы предполагаем, что за год мы заработаем ровно половину прибыли от проекта.

Чтобы подчеркнуть, что имеется в виду именно доходность в пересчете на стандартный годовой срок, говорят не просто о доходности, а о годовой доходности, которая выражается в процентах годовых.

Пересчитать доходность в проценты годовых можно по следующей формуле:

Где:

Время – это продолжительность инвестиционной операции в днях, месяцах или других единицах.

Год – продолжительность года в тех же единицах, что и Время. То есть если мы подставляем Время в днях, то и Год должен быть в днях (365 дней), а если мы считаем Время в месяцах, то Год будет тоже в месяцах (12 месяцев)

Для простоты расчетов часто принимается, что в году 360 дней, а в месяце 30 дней.

Теперь вернемся к нашему вопросу и посчитаем, какую годовую доходность должны давать инвестиции, чтобы приносить ежемесячную прибыль в размере 3000 рублей на вложенные 50 000 рублей:

Теперь мы можем подумать о том, какие финансовые инструменты могут принести прибыль в таком размере. Очевидно, что банковские депозиты нам не подходят, поскольку их доходность существенно ниже желаемой. Не подойдут нам и рынки акций, золота и многие другие, если мы хотим действовать в стиле «купил и держи».

Доходность 72 % вполне реальна на рынке производных инструментов или при активных спекуляциях с использованием финансового плеча на рынке акций. Но и то, и другое не подходит начинающему инвестору, поскольку требует большого опыта, серьезных знаний и готовности принимать на себя весьма высокие риски. И если вы не считаете себя профессиональным инвестором, то стоит ограничить свои ожидания по доходности более скромными цифрами.

Задача обратна к той, что мы решали в предыдущем вопросе. Сначала нужно узнать, какую доходность имеет выбранный финансовый инструмент. Если мы говорим о банковском депозите, то узнать это несложно. Банк указывает доходность по депозиту в условиях депозитного договора, публикует ставки по депозитам на своем сайте, вывешивает в офисе. По состоянию на конец 2011 года доходность долгосрочных (более 1 года) банковских депозитов находилась в пределах от 6 % до 11 % годовых. По другим финансовым инструментам для определения ожидаемой годовой доходности зачастую приходится пользоваться мнением экспертов или статистикой за некоторый период времени.

Допустим, что выбранный нами банк предлагает депозит на 3 года с процентной ставкой 8 % годовых.

Зная ожидаемую годовую доходность и сумму инвестиций, мы можем посчитать, какую прибыль мы будем получать каждый год:

Прибыль за год = Сумма вложений ? Доходность (% год)

Доходность подставляется в формулы не в процентах, а в долях единицы. Чтобы превратить проценты в доли единицы, нужно разделить их на 100. Например, если доходность равняется 10 % годовых, то мы подставим в формулу 10/100 = 0,1

То есть в нашем случае:

Прибыль за год – 1 500 000 дублей X 0,08 = 120 000 рублей Далее нам надо посчитать, сколько мы получим за нужный нам срок, например за месяц:

Где, как и в предыдущем вопросе:

Время – это продолжительность операции в днях или других единицах, а Год – это продолжительность года в тех же единицах, что и Время.

Рассчитаем прибыль для нашего примера:

Итак, получается, что, положив 1 500 000 рублей на банковский депозит под 8 % годовых, можно получить прибыль в размере 10 000 рублей в месяц.

Посчитать, в какую сумму превратятся 100 000 рублей за 5 лет на банковском депозите, можно по формуле:

Будущая сумма – Сумма вложений ? (1+ Доходность ? Время)

Где:

Время снова берется в любых единицах: месяцах, годах, днях. При этом Доходность в этой формуле применяется не годовая, а за единицу Времени. То есть годовую доходность можно подставлять в эту формулу только в случае, если Время измеряется годами. В случае, если Время, например, считается в месяцах, то годовую доходность нужно пересчитать в доходность за месяц:

Если мы разместим наши 100 000 рублей на депозит с доходностью 8 % годовых, то в результате через 5 лет мы получим сумму:

Будущая сумма = 100 000 рублей ? (1 + 0,08 ? 5 лет) = 140 000 рублей

Этот расчет не учитывает так называемого эффекта «сложных процентов». Чем же простые проценты отличаются от сложных? Сложный процент (капитализация процентов) имеет место, когда полученная за период прибыль присоединяется к сумме вложений и в следующий период времени прибыль зарабатывается на уже возросшую сумму вложений. Таким образом, эффект сложных процентов приводит к тому, что инвестированная сумма растет с большей скоростью.

Насколько вырастет инвестированная сумма с учетом капитализации процентов, можно посчитать по следующей формуле:

Будущая сумма = Сумма вложений ? (1 + Доходность)^N

Где:

N – это число периодов получения дохода (если доход выплачивается и присоединяется к сумме вложений ежемесячно, то N – это количество месяцев получения дохода);

Доходность – это доходность за единицу времени, в которых измеряется N. Если прибыль начисляется ежемесячно, то годовую доходность нужно пересчитать в доходность за месяц. Если прибыль выплачивается каждый квартал, то нужно считать доходность за квартал. Доходность подставляется в формулу в долях единицы.

Если по депозиту из нашего примера проценты начисляются ежемесячно и присоединяются к сумме вклада (депозит с ежемесячной капитализацией), то через пять лет мы получим следующий результат:

Вы видите, что эффект сложных процентов в нашем примере подарил нам почти 9 000 рублей за 5 лет. Если же мы посчитаем, какой результат нас ожидает через 10 лет, то получится, что вклад с простыми процентами превратит наши 100 000 рублей в 180 000 рублей. А на вкладе с капитализацией за то же время 100 000 рублей вырастут до 222 000 рублей. Таким образом, чем длительнее срок, тем более ощутим эффект сложных процентов.

Все бы хорошо, но не стоит забывать про один неприятный факт – инфляционные процессы также развиваются по формуле сложных процентов. Это означает, что если процентная ставка по инвестициям меньше инфляции, то мы будем проигрывать инфляции, несмотря на всю силу сложных процентов.

Используя годовую процентную ставку – относительную величину, можно сравнивать между собой различные варианты инвестиций. Конечно, можно это делать и с помощью абсолютных показателей, рассчитывая будущий конечный результат.

Например, как понять, что выгоднее: вложить 100 000 рублей на депозит (1) со ставкой 7 % годовых с ежемесячной капитализацией на 2 года или на депозит (2) с выплатой всех процентов в момент открытия депозита со ставкой 6,5 % годовых на 1 год?

На депозите (1) сумма вложений увеличится до 114 980 рублей:

С депозитом (2) вопрос несколько сложнее. Во-первых, он короче по сроку, а во-вторых, как учесть тот факт, что проценты по этому депозиту выплачиваются вперед, в день открытия депозита?

На мой взгляд, корректно посчитать будущую сумму для сравнения можно следующим образом: мы два раза повторяем операцию с депозитом (2), чтобы получить одинаковый срок с депозитом (1), и мы должны предположить, что полученные проценты мы сразу же размещаем на другом депозите с такой же ставкой (моделируем капитализацию).

Тогда получится, что при открытии депозита (2) мы получим 6500 рублей процентов и положим их на депозит на 2 года со ставкой 6,5 %. И на второй год мы получим также 6500 рублей, но они пролежат на депозите всего год.

Я думаю, что вы уже и сами сможете рассчитать, до какой суммы вырастут полученные нами проценты:

Первые 6500 рублей за два года на депозите со ставкой 6,5 % годовых вырастут до 7345 рублей, а вторые 6500 рублей за год дорастут до 6922 рублей.

Итого за два года мы заработаем 14 267 рубля, что лишь немногим меньше прибыли по депозиту (1) с более высокой ставкой и ежемесячной капитализацией.

Еще раз подчеркиваю важность того, что мы должны сравнивать операции с одинаковыми сроками. То есть следует изменить исходные данные для расчетов таким образом, чтобы уравнять сроки различных вариантов инвестиций.

Сколько денег накопится на счете при регулярных вложениях под одну и ту же ставку с капитализацией, вы можете посчитать по формуле будущей стоимости аннуитета.

Аннуитетом в финансовом мире называется любой поток одинаковых платежей. Например, если пенсионный фонд выплачивает вам пенсию из ваших накоплений одинаковыми ежемесячными платежами, то это аннуитет. И если вы выплачиваете кредит ежемесячными одинаковыми платежами, то это тоже аннуитет.

Будущая стоимость аннуитета (БСА) – это сумма, которая накопится у получателя аннуитета за весь срок получения дохода с учетом постоянного инвестирования полученных платежей.

Где:

Годовой платеж – это сумма, которую мы вкладываем в течение года. Если мы инвестируем деньги ежемесячно, то Годовой платеж равен двенадцати ежемесячным платежам.

N здесь снова означает число периодов начисления дохода и в этой формуле продолжительность периода начисления дохода N должна совпадать с периодом перечисления денег по аннуитету. Доходность рассчитывается также за период N исходя из Годовой доходности и выражается в долях единицы.

Если мы каждый месяц докладываем к нашим инвестициям 3000 рублей и все накопленное инвестируется с доходностью 10 % годовых в течение 10 лет, то мы в итоге накопим 614 534 рубля:

Вдумайтесь немножко: вы отрываете от сердца всего 100 рублей в день и через 10 лет получаете сумму 614 534 рубля! Притом, что если вы просто откладываете по 100 рублей в день, не инвестируя их никуда, то накопленная сумма составит всего 360 000 рублей, то есть почти в два раза меньше!

Сколько нужно ежемесячно откладывать, чтобы накопить 1 000 000 рублей за 5 лет?

В прошлом вопросе мы подсчитывали результат планомерного инвестирования в течение некоторого периода времени. Но чаще мы сталкиваемся с обратной задачей: сколько нужно откладывать денег, чтобы к определенной дате накопить нужную сумму? Ребенок скоро будет поступать в институт, хочется купить собственную квартиру, совершить кругосветное путешествие, открыть бизнес… Да мало ли какие у нас могут быть цели! При помощи следующей формулы мы можем посчитать, сколько денег нужно ежемесячно инвестировать для того, чтобы реализовать запланированное:

Где, как и в предыдущем примере, N – это число периодов начисления дохода. Поскольку мы вычисляем размер ежемесячного платежа, N измеряем в месяцах. Годовая доходность, как и в предыдущих расчетах, подставляется в формулу в долях единицы.

Если мы хотим накопить 1 000 000 (один миллион) рублей за 5 лет и для этого держим деньги на пополняемом депозите с доходностью 7 % годовых с ежемесячной капитализацией, то нам нужно каждый месяц вкладывать 13 968 рублей:

Инвестируя всего 14 000 рублей в месяц, через пять лет вы станете миллионером! А если ваши инвестиции в среднем будут приносить 15 % годовых, то для того, чтобы накопить миллион за те же пять лет, вам нужно будет ежемесячно добавлять к вашим вложениям лишь 11 290 рублей.

Важно отметить, что приведенные аннуитетные формулы работают при условии капитализации процентов. То есть чтобы реально получить расчетный результат, вы должны не забывать снова вкладывать полученный от ваших активов доход.

Кстати, вы можете стать «миллионером» намного быстрее, если, например, возьмете миллион рублей в кредит в банке. Давайте посчитаем, во сколько вам это обойдется.

Для расчета аннуитета при погашении кредита применяется другая формула:

Где:

Процентная ставка берется в долях единицы в пересчете на месяц, то есть это годовая ставка по кредиту, деленная на 12. Например, для кредита со ставкой 15 % годовых Процентная ставка будет равна:

Итак, если мы берем 1 000 000 рублей в кредит, то при достаточно умеренной ставке по кредиту в размере 15 % годовых нужно будет выплачивать по 23 790 рублей каждый месяц в течение 5 лет:

Разумеется, миллион сегодня лучше, чем миллион через 5 лет. Но и 23 790 рублей каждый месяц платить заметно тяжелее, чем 14 000 рублей…

Исследования показывают, что у многих людей возникают сложности с вычислением и пониманием процентных ставок (особенно когда считать приходится быстро и в уме). Один из способов справиться с этой проблемой – не пытаться разобраться в процентах, а выяснить, сколько времени потребуется для того, чтобы удвоить количество инвестированных денег с учетом эффекта сложных процентов. Тогда от непривычных и непонятных процентов мы перейдем к более привычным единицам измерения – к годам.

Вычислить это проще, чем кажется. Задолго до того, как были изобретены калькуляторы и электронный таблицы, инвесторы использовали «Правило 72х».

Как работает это Правило?

Представьте себе, что вам предложили инвестировать деньги с доходностью 10 % годовых с возможностью капитализации процентов. Чтобы с помощью Правила 72 вычислить, сколько лет потребуется для удвоения суммы первоначальных инвестиций, нужно просто разделить 72 на годовую ставку доходности. То есть для 10 % годовых удвоение суммы произойдет через 72/10 = 7,2 лет. Аналогично, с процентной ставкой 20 % годовых сумма удвоится за 3,6 лет (72/20 = 3,6).

Правило 72 не подходит для точных расчетов, но оно позволяет быстро и без использования компьютера или калькулятора получить достаточно реалистичную оценку результата.

Как же мы можем воспользоваться Правилом 72 для принятия решения о выгодности вложения денег в тот или иной актив? Разумеется, чем быстрее прирастают наши активы, тем лучше. Но мы должны иметь представление о реалистичных сроках удвоения капитала с приемлемым для нас уровнем риска.

Я считаю, что если инвестиции удваиваются не быстрее, чем за 5 лет, то это инвестиции вполне приемлемого риска. При этом если увеличение суммы в два раза происходит более чем за 10 лет, то это не очень интересно. Если же Правило 72 показывает, что денег станет в два раза больше уже через 2 года, то это повод сильно задуматься, не слишком ли это хорошо для того, чтобы быть правдой.